Kazalo poglavij

Zaporedja

Integral

Abecedno kazalo

Odvod

Limita funkcije

Imejmo dano funkcijo f in realno število a. Zaporedje x_n naj konvergira proti številu a. Sestavimo drugo zaporedje y_n po pravilu: y_n = f (x_n).
Če zaporedje y_n vedno konvergira k istemu realnemu številu b (ne glede na to, kako izberemo zaporedje x_n, ki konvergira proti a), potem pravimo, da je število b limita funkcije f, ko gre x proti a.

To pomeni, da je limita funkcije vrednost, ki se ji približujejo rezultati funkcije, če se podatki približujejo številu a.
Limito funkcije f, ko gre x proti a, označimo:

Če se graf funkcije v okolici točke a ne pretrga, pravimo, da je funkcija v tej točki zvezna.

Velja:
Funkcija je v točki a zvezna, če in samo če je limita funkcije, ko gre x proti a, enaka funkcijski vrednosti v tej točki, torej:
Funkcija je v točki a zvezna    ⇔     = f (a)

Odvod funkcije

Tangenta na graf funkcije f v točki T(x, y) je premica, ki se v okolici te točke najbolj prilega grafu funkcije.
(Opomba: Tangenta na graf obstaja, samo če je graf v okolici dane točke gladek. V točkah, kjer se graf prelomi, tangenta ne obstaja.)

Odvod funkcije f v točki T(x, y) je smerni koeficient tangente na graf te funkcije v tej točki. Označimo ga f '(x).

  

Računsko določimo odvod s pomočjo limite: f '(x) = 

Ker je odvod enak smernemu koeficientu premice, ki se grafu funkcije zelo dobro prilega, nam odvod pove, kakšna je strmina grafa funkcije v dani točki.
Če je na nekem intervalu odvod funkcije pozitiven in kvečjemu v posameznih točkah enak 0, potem funkcija na tem intervalu narašča.
Če je na nekem intervalu odvod funkcije negativen in kvečjemu v posameznih točkah enak 0, potem funkcija na tem intervalu pada.

Naklonski kot grafa funkcije v dani točki definiramo kot naklonski kot tangente na graf te funkcije v tej točki in ga izračunamo po znani formuli:
  tg α = k

Pravila odvajanja

Funkcija	Odvod
A f (x)	A f '(x)
f (x) + g(x)	f '(x) + g'(x)
f (x) g(x)	f '(x) g(x) + f (x) g'(x)
f (g(x))	f '(g(x)) g'(x)
xn	n xn −1
sin x	cos x
cos x	− sin x
tg x
ctg x
ex	ex
ax	ax ln a
ln x
loga x

Stacionarne točke

Stacionarna točka funkcije je točka, v kateri je odvod funkcije enak 0.
To pomeni, da je tangenta v stacionarni točki vodoravna.

Poznamo tri vrste stacionanih točk:

• Lokalni minimum je najnižja točka v neki okolici. Spoznamo ga po tem, da funkcija levo od minimuma pada, desno pa narašča, torej je odvod funkcije levo od minimuma negativen, desno pa pozitiven.
  
  
• Lokalni maksimum je najvišja točka v neki okolici. Spoznamo ga po tem, da funkcija levo od maksimuma narašča, desno pa pada, torej je odvod funkcije levo od maksimuma pozitiven, desno pa negativen.
  
  
• Vodoravni prevoj je točka, v kateri je tangenta vodoravna, vendar pa ni niti minimum niti maksimum. Funkcija je v okolici vodoravnega prevoja monotona (samo narašča ali pa samo pada). Predznak odvoda se v vodoravnem prevoju ne spremeni.
  
  

  

Kazalo poglavij

Zaporedja

Integral

Abecedno kazalo